線形代数の基盤は、$Ax = b$ という方程式に対する2つの異なるが数学的に同等な解釈にあります。私たちは従来の 行の視点という幾何学的超平面の交点を求める視点から、より強力な 列の視点という行列 $A$ を基本ベクトルの線形結合として捉える視点へと移行します。このとき、$b$ という目的のベクトルは、$A$ の列ベクトルたちを適切な重みで組み合わせて構成されます。
1. 解の幾何学的性質
3×3 の連立方程式において、 行の視点各方程式は $\mathbb{R}^3$ 内の平面を表します。解 $x = (2, 3, 4)$ は、これらの3つの平面が唯一交わる点です。数学的には、$b$ は各行ごとに「内積」（行と列の積）を使って計算されます。 内積 （行と列の積）：
$b = [A(1, :) * x; A(2, :) * x; A(3, :) * x]$
逆に、 列の視点 列の視点では、$Ax = b$ を特定の列ベクトルの線形結合を求めることとして捉えます：$b = A(:, 1)x_1 + A(:, 2)x_2 + A(:, 3)x_3$。ここで行列 $A$ は方向の集合と見られ、変数 $x_i$ は目的地 $b$ に到達するための重み（スカラー）となります。核心的な理論で強調されているように： 列の視点：$Ax = b$ は、列の組み合わせによって $b$ を生成することを求めています。
行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ を考えます。$ad - bc$ を計算すると $2 - 2 = 0$ となり、この行列は特異行列です。行の視点では直線が平行になります。列の視点では、両方の列ベクトルが同じ直線上にあるため、その直線上にない $b$ には到達できません。
2. 行列 $A$ を線形変換として見る
ベクトルに行列 $A$ を掛けることは単なる計算ではなく、 線形変換という原理を満たします：$Aw = cAu + dAv$（ここで $w = cu + dv$）。これにより、$A$ が空間から別の空間へのベクトルの写像（作用素）であることが確認されます。回転や投影を含む可能性があります（図、p.42）。
- 次元の法則： $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$ （p.72）。
- 単位成分： 標準基底ベクトル $e_1 = [1,0,0]^T, e_2 = [0,1,0]^T, e_3 = [0,0,1]^T$ がこの空間の次元を定義します（図、p.80）。
- 高度な補足： ウッドベリー・モリソンの公式は、工学分野で「行列逆数の補正法」として知られ、行列 $A$ に小さな変更が加わった後の逆行列の更新に用いられます。